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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

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4. Decida si cada una de las siguientes series es convergente o divergente:
i) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{(n+2)!}$

Respuesta

Para estudiar ahora esta serie:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{(n+2)!}$

con esos factoriales ahí, probablemente nos convenga intentar usar el Criterio de D'Alembert. 

Spoiler: Si intentaste ir por este camino, seguramente llegaste a que el resultado del límite es $1$, así que no nos ayuda (pero hubiera sido el primer camino a elegir eh, yo de hecho lo arranqué resolviendo por D'Alembert y tuve que borrar todo jaja) 

Proponemos entonces usar otro camino. Podríamos arrancar reescribiendo nuestra serie así:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{(n+2)!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{n! \cdot (n+1)(n+2)}$

Simplificamos los $n!$

$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+2)(n+1)} $

Si hacemos ahora las distributivas ahí en el denominador nos queda:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n^2 + 3n + 2} $

Y esta serie sospechamos que se va a comportar igual que $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$, que es una serie \( p \) con \( p > 1 \), y sabemos que converge.

Vamos a confirmar esta sospecha usando el criterio de comparación vía límite: $ \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^2 + 3n + 2}}{\frac{1}{n^2}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 3n + 2} = 1 $ Como el resultado del límite nos dio un número mayor que 0, el criterio de comparación vía límite nos asegura que ambas series se comportan igual. Por lo tanto, nuestra serie converge.
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Avatar Gonzalo 1 de julio 22:46
Hola flor, yo lo hice de otra manera, una vez que simplificas las n!
Y te queda 1/(n+1)(n+2) yo eso lo descompuse en fracciones y me quedo 1/n+1 - 1/n+2 y ahi las resolvi como series telescopicas y llegue a lo mismo
El razonamiento es valido igualmente?
Avatar Flor Profesor 2 de julio 09:52
@Gonzalo Hola Gonza! Perfectooooo, me encantó ese razonamiento! Es válido también justificarlo así :D
Avatar GuadaBorsani 30 de junio 21:45
holaa, por qué al principio queda ese (n+1)? De dónde salió?




Avatar Flor Profesor 1 de julio 08:29
@GuadaBorsani Hola Guada! Te acordás cuando estábamos en la práctica de sucesiones, que si queríamos por ejemplo escribir $(n+1)!$ decíamos que:

$(n+1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 ... \cdot n \cdot (n+1)$

y entonces esto lo podíamos escribir como:

$(n+1)! = n! (n+1)$ 

Ahora es lo mismo pero tenemos $(n+2)$, entonces lo podemos pensar como:

$(n+2)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 ... \cdot n \cdot (n+1) \cdot (n+2)$

y esto es:

$(n+2)! = (n+1)! (n+2)$

Fijate que en la clase de Criterio de D'Alembert, en la unidad de sucesiones, está esto mismo explicado en el Minuto 8:00 de la clase y seguro ayude a que termine de quedar más claro! :)
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